Drogę do kariery otworzyła zespołowi nagroda w koncercie debiutów Festiwalu w Opolu w 1978 r. Bajm zajął tam drugie miejsce za piosenkę „Piechotą do lata”. Zespół wydał 16 płyt. Każda z nich okryła się złotem bądź platyną. Teksty do wszystkich piosenek napisała Beata Kozidrak.
Grupa wylansowała ponad sto przebojów, które na stałe zapisały się w historii polskiej muzyki. Wśród największych wymienia się: „Płynie w nas gorąca krew”, „Dwa serca, dwa smutki”, „Małpa i ja”, „Biała armia”, „Ta sama chwila”, „Szklanka wody”, „Nie ma wody na pustyni”, „Myśli i słowa”.
BAJM ma na koncie 4 mln sprzedanych płyt. Zdobył wszystkie najważniejsze i najbardziej prestiżowe nagrody muzyczne przyznawane w Polsce.
Zespół koncertował w całej Europie, USA, Kanadzie i Wietnamie. Do tej pory dał ponad 7 tys. koncertów.
Od 33 lat BAJM gra w składzie: Beata Kozidrak – vocal, Piotr Bielecki – gitara, Krzysztof Nieścior – perkusja, Adam Drath – gitara, Artur Daniewski – gitara basowa. W 2000 r. do zespołu dołączyła Maria Dobrzańska, która gra na instrumentach klawiszowych. Członkowie całego zespołu pochodzą z Lublina.
31 sierpnia 2018 r. ukazał się dwupłytowy album "BEST OF 1978 - 2018" - zawierający największe przeboje zespołu, wydany z okazji 40-lecia BAJMu.
Od 48 lat managerem zespołu jest Andrzej Pietras.